Есть вопросы?

Введите Ваше имя (минимум 2 символа)

Некорректный e-mail

Введите Ваш вопрос (минимум 10 символов)

Подтвердите что Вы не робот

Спасибо, мы скоро Вам ответим!

Лекция 1. Понятие игры: игроки, действия, выгоды и информационная среда. Последовательные и параллельные игры


Игра — процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Игра называется кооперативной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя.

Стратегия — это полный план действий при всевозможных ситуациях, способных возникнуть. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для каждого возможного течения игры, способного привести к каждой ситуации.

Игрок — рациональный индивид, имеющий заинтересованность в исходе игры и возможности воздействовать на него.

Параллельная игра — игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход.

Последовательная игра — игроки могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

Чистая стратегия даёт полную определённость каким образом игрок продолжит игру. В частности, она определяет результат для каждого возможного выбора, который игроку может придётся сделать.

Смешанная стратегия — является указанием вероятности каждой чистой стратегии. Это означает, что игрок выбирает одну из чистых стратегий, в соответствии с вероятностями заданными смешанной стратегией. Выбор осуществляется перед началом каждой игры и не меняется до её конца. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, когда вероятность данной чистой стратегии 1 и у всех других стратегий нулевая вероятность.

Равновесие Нэша — тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения.

Эволюционно стабильная стратегия — стратегию, которая, будучи принята достаточно большим числом членов популяции, не может быть вытеснена никакой другой стратегией.

Достоверное обязательство — обязательство, которому вынуждены доверять другие игроки. Например, завоеватель империи инков Кортес сжег свои корабли, перед тем как отправился покорять империю со своим отрядом.


Задача #1. Доминирующая стратегия

Из колоды игральных карт убрали красную бубновую масть. В колоде осталось 27 карт, из которых 9 карт красного цвета и 18 карт черного цвета. Вероятность выбора карты красного цвета 1/3. Предлагается игра: Вы называете цвет карты, которую банкомет случайным образом вытаскивает из колоды. Если Вы угадываете цвет карты, то Вы получаете 100 рублей, если ошибаетесь с выбором цвета, то Вы платите банкомету 100 рублей. Карта после каждого этапа игры снова возвращается в колоду.

А) Какая стратегия угадывания принесет Вам наибольший ожидаемый выигрыш?

Б) Чему равно математическое ожидание выигрыша при использовании доминирующей стратегии?

В) Чему равно математическое ожидание выигрыша при использовании стратегии с вероятностью 1/3 говорю «красное», с вероятностью 2/3 говорю «черное»

Ответ #1

А) Нужно всегда называть черный цвет. Это доминирующая стратегия

Б) 2/3*100+1/3*(-100)=33.3

В) 2/3*(2/3*100+1/3*(-100))+1/3*(2/3*(-100)+1/3*(100))=11.1

Задача #2. Угадайте число

Мною загадано число от 1 до 100. Вы можете назвать свое число, а я скажу больше или меньше. Данная процедура повторяется 5 раз.

А) Какое число Вам нужно назвать в первый, второй, третий и четвертый разы?

Б) С какой вероятностью Вы угадаете число, которое загадано мною?

В) Является ли данная стратегия угадывания доминирующей?

Решение #2

А) Вам нужно последовательно делить пополам числовое пространство от 1 до 100. Поэтому первый раз нужно назвать 50. Второй раз делится оставшееся множество чисел и пространство выбора сужается до 25 и т.д. Например, если мною загадано число 48, то первый раз будет меньше 50, второй раз больше 25, третий раз больше 37, четвертый раз больше 43. Следовательно, в пятый раз Вы случайным образом должны выбрать из 44, 45, 46, 47, 48 и 49.

Б) Вероятность угадывания около 1/6.

В) Да, так как любая другая последовательность действий даст меньшую вероятность угадывания

Проблема #3

Если ехать на поезде из Астрахани в Москву, то нельзя миновать станцию Баскунчак. Летом там продаются арбузы. Поезд стоит на станции 45 минут, продавцы арбузов располагаются и мобильны, т.е. если где-то арбузы продаются активнее, то арбузы быстро перебрасываются из одной «торговой точки» в другую. Представьте себе пассажира, хотящего приобрести арбуз по минимальной цене…

А) Когда ему нужно покупать арбуз – сразу (т.е в первые 15 минут стоянки поезда), в середине или в конце торговой сессии? От каких факторов будет зависеть его решение?

Б) Предположим, что пассажир не знает о соотношении спроса и предложения арбузов на станции Баскунчак. Существует ли стратегия, позволяющая ему, оптимизировать его решение?

Ответ #3

А) Это зависит от соотношения спроса и предложения арбузов. Если большинство пассажиров поезда закупили арбузы еще в Астрахани, то нужно покупать в конце торговой сессии. Если все пассажиры планируют купить арбуз на самой станции, то нужно покупать вначале

Б) Нет, пожалуй, можно пойти вслед за проводником поезда и купить арбуз в том месте и в то время, когда покупает арбуз он

Задача #4. Игра «Цыпленок»

Две компьютерные фирмы А и В планируют заняться разработкой систем сетей для управления информацией в офисах. Каждая фирма может разработать либо быструю, высококачественную систему (Н), либо медленную систему с низким качеством (L). Изучение рынка показывает, что прибыли фирм задаются матрицей:

    Фирма В
Фирма А   H L
H 30; 30 50; 35
L 40; 60 20; 20

А) Если фирмы следуют доминирующей стратегии, то каким будет исход игры?

Б) Предположим, что обе фирмы пытаются максимизировать прибыль, но фирма А начинает первой и может первой объявить свой выбор. Каким будет исход игры? Измениться ли результат, если первой начинается фирма В и первой объявляет свой выбор.

В) Чтобы начать первой, нужно инвестировать деньги (вы должны привлечь большую инженерную команду). Рассмотрим теперь двухшаговую игру, в которой на первом шаге каждая фирма решает, сколько потратить на ускорение разработки, а на втором объявляет, какую продукцию она будет производить. Какая фирма потратит больше на ускорение разработки? Сколько? Будет ли другая фирма тратить сколько-нибудь на ускорение

Ответ #4

А) Игра представляет собой разновидность игры «Цыпленок» с двумя чистыми равновесиями NE: (40, 60) и (50, 35)

Б) Фирма А реализует преимущество первого хода и исход станет (H,L)

В) По всей видимости фирма Б, так как ее выигрыш от перехода в выгодное для нее равновесие составит 60-35=25, выигрыш же фирмы А равен 50-40=10. Тот кто больше получит, у того, возможно, больше стимулов жертвовать.

Задача #5. Задача о косоногом пенальтисте

Представим в виде упрощенной схемы игру Вратарь-Пенальтист. В целях упрощения, возможность бить по центру на силу для пенальтиста исключена и лево-право для игрока и вратаря одинаковы

    Пенальтист
Вратарь   Бьет вправо Бьет влево
Прыгает вправо +1; – 1 – 1; +1
Прыгает влево – 1; +1 +1; – 1

А) Рассчитайте равновесие Нэшf в смешанных стратегиях. Какова вероятность каждого исхода?

Б) Допустим, что у пенальтиста косая левая нога, т.е. если он бьет в левый угол, то попадает в него с вероятностью α. Какими будут ожидаемые платежи если вратарь прагает вправо, а пенальтист бьет влево?

В) Рассчитайте равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях и покажите как будет меняться вероятность каждого исхода в зависимости от косоногости пенальтиста

Ответ #5

А) Вероятность каждого исхода 1/4;

Б) Для пенальтиста (2*α-1), для вратаря (1-2*α);

В) Вероятность исхода «вратарь прыгает вправо, пенальтист бьет вправо» равна α/(α+1)2; вероятность исхода «вратарь прыгает вправо, пенальтист бьет влево» равна 1/(α+1)2; вероятность исхода «вратарь прыгает влево, пенальтист бьет вправо» равна α2/(α+1)2; вероятность исхода «вратарь прыгает влево, пенальтист бьет влево» равна α/(α+1)2


Дополнительные источники информации:

Диксид Авинаш К., Нейлбафф Барри Дж. Стратегическое мышление в бизнесе, политике и личной жизни. Пер. с англ. М.: ООО «ИД Вильямс». 2007. – 384 с. – Глава 4. Прекрасное равновесие

Кабраль Луис М.Б. Организация отраслевых рынков. Вводный курс. Пер. с англ. А.Д. Шведа. – Мн.: Новое знание. 2003. 356 с. Глава 4. Игры и стратегия

В.И. Данилов Лекции по теории игр – Лекция 1-13

СМОТРЕТЬ ВСЁ Add a note
ВЫ
Добавить Ваш комментарий
 

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.

Контакты:

Пользовательское соглашение
Политика конфиденциальности
ТЕЛЕФОНЫ: +7 (499) 253-93-12, +7 (499) 253-93-12
АДРЕС: 123056 Москва, Электрический, пер. 8, стр. 3
E-MAIL: info@edverest.com

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: