Аннотация: Статья посвящена инкорпорированию модели оптимального складского запаса Вильсона в модель Баумоля-Тобина, где в качестве эндогенной переменной выступает время. Полученный результат показывает, что при учете упущенных выгод и фактора времени, традиционный подход Вильсона дает завышенное значение оптимального складского запаса. Предложенная модифицированная модель Баумоля-Тобина связывает размер оптимального складского запаса с номинальными расходами фирмы на осуществление одного заказа. В статье предложено два подхода к расчету издержек на хранение и показан ход оптимизационных решений при каждом из них.
Ключевые слова: Оптимизация, явные и неявные затраты, минимизация затрат, модель Вильсона, модель Баумоля-Тобина, модифицированная модель Баумоля-Тобина, менеджмент запасов.
В 10-х годах прошлого века Харрис Форд в своей статье «Сколько производить за один раз?» [1] предложил идею оптимального складского запаса, которая 30- годах прошлого века была модернизирована Робертом Вильсоном в концепцию «Экономичного складского запаса» (EOQ-model) [2]. Впервые в логистике стали использоваться оптимизационные модели, выводы из которых вошли во все учебные пособия по логистике, управлению и финансам. За рубежом даже возникло отдельное направление inventory management. И в настоящее время формула Вильсона активно используется как финансовых, так и в логистических операциях.
Формулировку проблемы оптимального складского запаса можно представить в виде следующей оптимизационной задачи
Если
С — издержки доставки и размещения одного заказа (транспортные затраты, погрузо-разгрузочные работы, экспедиционные расходы),
R — ежегодный спрос на продукцию в физических единицах,
P — цена приобретения одной единицы продукции фирмой,
H — издержки хранения одной физической единицы товара в год,
то какой оптимальный размер заказа (Q*) должна делать фирма?
Решение данной задачи предполагает процедуру минимизации издержек фирмы, связанных как с хранением товаров, так и доставкой заказов.
Если заказы поступают равномерно, а это одно из основных условий для решения задачи в общем виде, то количество заказов, сделанных в течение года составит R/Q , цена стоимость доставки и размещения одного заказа С. Следовательно, фирма потратит на доставку заказов (C*R)/Q денежных средств.
В начале периода времени на склад будет доставлено Q единиц продукции, в конце периода времени на складе останется 0 единиц продукции. Среднее значение складского запаса составит, если складской товар расходуется равномерно, (Q+0)/2 единиц продукции, и соответственно затраты на хранение Q единиц продукции составят (Q*H)/2.
Таким образом, необходимо минимизировать сумму двух функций издержек. Первая функция издержек представляет собой обычную гиперболу, вторая – прямую линию. Минимизация целевой функции дает нам обычную формулу Вильсона
(1)
Откуда
(2)
Разделив годовой оборот (ежегодный спрос) на оптимальный размер заказа, получаем оптимальное количество заказов, сделанных фирмой в течении года составит, соответственно
, (3)
Среднее количество единиц продукции, хранящейся на складе, соответственно составит:
(4)
Важным практическим приложением полученной формулы является правило квадратного корня: если годовой оборот фирмы увеличивается в N раз увеличение размера оптимального заказа и соответственно среднего количества единиц, хранящихся на складе, увеличивается в √N раз. Данное правило активно используется в складской логистике и является причиной экономии на масштабах для сетевых структур в производстве, розничной торговли и т.д. [3]
С формулой Вильсона возникает определенное методологическое несоответствие. Оно заключается в том, что решение, принимаемое фирмой, содержит определенную оптимизацию по времени, так как нужно определиться с продолжительностью времени хранения. Время в бизнесе выражается в упущенных выгодах или в деньгах, однако этот экзогенный фактор никаким образом не включен в модель «Экономичного размера заказа».
Проблема учета фактора времени при хранении была в модели Баумоля-Тобина, разработанной в 50-х годах прошлого века [4], в просторечии называемой «модель-пила». [5]
Модификация формулы Вильсона в трактовке Баумоля-Тобина, где в качестве эндогенной переменной используется время t [4], будет выглядеть следующим образом (впервые данный подход в России был представлен в переводном учебном пособии Г. Мэнкью «Макроэкономика», глава 18 в 1994 году [6]):
Примем в качестве эндогенной переменную t – время хранения одного доставленного запаса на складе. Значение t принимается от 0 до 1. Если t=0,5, то время складского хранения одного заказа составляет полгода, если t=1/12, то один месяц и т.д. (теоретически t может быть и больше единицы, в этом случае, например, при t=2 время хранения на складе одного заказа составит два года).
Если оставить в силе все обозначения из предыдущего примера, то можно сформулировать задачу оптимального складского запаса, где в качестве эндогенной переменной выступает время. В этом случае
1/t — количество доставок (заказов) продукции на склад в течении года;
C/t — издержки фирмы на доставку (заказы) продукции в течение года;
R*t — размер одного заказа или Q как в нашем предыдущем примере;
(R*t*H)/2 — издержки хранения товаров на складе.
Целевая функция минимизации транспортных затрат и упущенных выгод от времени будет выглядеть следующим образом:
(5)
Оптимальный размер заказа составит
, (6)
Среднее количество товаров хранящихся на складе составит
(7)
Однако подход Баумоля-Тобина не учитывает прямых издержек [7], связанных с хранением товаров на складе, точнее неявно предполагает, что они равны нулю.
Логично совместить два подхода к определению оптимального складского запаса, привязав издержки хранения к временному фактору или инкорпорировав подход Вильсона в модель Баумоля-Тобина. Это позволит совместить идею Вильсона с подходом, предложенным Уильямом Баумолем и Джеймсом Тобином.
Хранение товаров на складе также связано с упущенной выгодой и ее необходимо учитывать. Упущенная выгода при хранении запаса есть потеря возможности заработать на сумме, вложенной в товар, в случае ее размещения на банковском счете [8].
Действительно, если у фирмы на складе постоянно хранится определенный объем товаров, причем в начале периода хранения его количество равно Q, а в конце 0, то при равномерности расходов складского запаса среднее количество товаров, изымаемых из оборота составляет Q/2, а в стоимостных показателях (P*Q)/2 или, на данную сумму денег, изымаемой из оборота в течении года, фирма упускает возможность получить доход, если бы она разместила эти деньги в банк под процентную ставку i-(P*R*t*i)/2.
Если включить данный вид экономических издержек (а это издержки упущенных возможностей) в модель Баумоля-Тобина, то фирма минимизирует во времени три вида затрат, два вида из которых являются явными и один вид является неявным:
(8)
Откуда получаем оптимальный срок размещения заказа
(9)
Оптимальное число заказов соответственно будет равно:
(10)
Оптимальный размер заказа в этом случае составит
(11)
Среднее количество товаров на складе, соответственно, будет равно:
(12)
Следует обратить внимание, что формула Вильсона является частным случаем предложенной обобщенной формулы Баумоля-Тобина с учетом издержек хранения, если допустить что процентная ставка равна нулю.
Если процентная ставка больше нуля ( i > 0 ), то при прочих равных условиях формула Вильсона будет давать завышенное значение оптимального заказа и занижает число заказов, которые должна делать фирма.
Так же важным следствием для данной модифицированной формулы является то, что на размер оптимального заказа влияют затраты, которые несет фирма по приобретению одной единицы заказа.
В качестве иллюстрации вышеприведённых доводов приведем числовой пример.
Пусть издержки доставки и размещения одного заказа (С) составляют 200 рублей, ежегодный спрос на продукцию в физических единицах составляет 5000 штук, цена приобретения одной единицы продукции фирмой равна (P) 1000 рублей, издержки хранения одной физической единицы товара в год (Н) – 40 рублей.
Тогда по мере роста процентной ставки расхождения в предсказанном оптимальном размере заказа будут значительно возрастать. (см. Таблица 1)
Таблица 1. Сравнение оптимального размера заказа при изменение процентной ставки: модифицированная формула Баумоля-Тобина vs. формула Вильсона
С=
H=
P=
R=
Расхождение в оптимальном размере заказа: (Q1/Q2-1)*100%
200
40
1000
5000
Модифицированная формула Баумоля-Тобина
Формула Вильсона
i
Q1
N1
Q2
N2
0%
224
22
224
22
0%
5%
149
34
224
22
-33%
10%
120
42
224
22
-47%
15%
103
49
224
22
-54%
25%
83
60
224
22
-63%
Данное расхождение будет тем выше, чем сильнее будет расти закупочная цена одного заказа и наоборот.
Так, в нашем абстрактном примере снижение цены единицы продукции, например в 10 раз, делает расхождения в результатах, предсказанным данными моделями менее значимыми (см. Таблица 2).
Таблица 2. Сравнение оптимального размера заказа при изменении процентной ставки и десятикратном снижении закупочной цены: модифицированная формула Баумоля-Тобина vs. формула Вильсона
С=
H=
P=
R=
Расхождение в оптимальном размере заказа: (Q1/Q2-1)*100%
200
40
100
5000
Модифицированная формула Баумоля-Тобина
Формула Вильсона
i
Q1
N1
Q2
N2
0%
224
22
224
22
0%
5%
211
24
224
22
-6%
10%
200
25
224
22
-11%
15%
191
26
224
22
-15%
25%
175
29
224
22
-22%
Таким образом, модифицированная модель оптимального складского запаса Баумоля-Тобина тем более значима, чем выше закупочные цены продукции. Данный вывод совпадает и с мнением Aro-gordon Stephen, Gupte Jaideep [9].
Практика, сложившая в России по аренде складских помещений, свидетельствует о том, что фирмы платят за аренду определенной площади склада, а не увязывают с арендодателем платежи за хранения с размером хранимого запаса. Экономисты называют подобный контракт негибким контрактом [10].
В этом случае условия негибкого контракта заставляют нас адаптировать подход к определению оптимального запаса, числа поездок и т.д.
Пусть Z – количество единиц продукции, которую можно разместить на 1 кв.м. складского помещения (обратите внимание, что Z может быть и меньше единицы, но больше нуля), а H – стоимость аренды одногоквадратного метра складского помещения. В этом случае фирма вынуждена арендовать Q/Z=(R*t)/Z единиц площади, а ее прямые затраты на аренду складского помещения составят (Q*H)/Z=(R*t*H)/Z. Следует обратить внимание на отсутствие числа 2 в знаменателе, так как решение фирмы определяется не средним размером запаса, а максимальным завозом товара, который осуществляет фирма.
Тогда с учетом упущенной денежной выгоды минимизация затрат фирмой будет представлена следующим образом:
(13)
Откуда
(14)
Оптимальное число заказов будет соответственно равно:
(15)
Оптимальный размер заказа составит значение:
(16)
Таким образом, оптимальный размер заказа положительно связан со следующими экзогенными параметрами
С — издержки доставки и размещения одного заказа (транспортные затраты, погрузо-разгрузочные работы, экспедиционные расходы),
R – ежегодный спрос на продукцию в физических единицах,
Z — количество единиц продукции, которую можно разместить на 1 кв. м. складского помещения.
Отрицательно со следующими экзогенными параметрами
Н — издержки аренды одного квадратного метра складского помещения,
Р — цена приобретения одной единицы продукции фирмой,
i – номинальная годовая ставка процента или альтернативная стоимость размещения количества денег эквивалентного стоимости среднего складского запаса.
Следует не согласиться с подходом Стерлиговой-Семеновой, что «введение той или иной формулы расчета, очевидно, не дает ответа на вопрос: «Каким должен быть размер заказа?» [11]. И теория, и практика показывают, что в каждом конкретном случае необходимо модифицировать оптимизационную модель и приводить ее в соответствие с особенностями ведения, в нашем случае, складской логистики [12]. Представляется, что представленные две новации, связанные с учетом упущенных выгод и негибким договором аренды складского помещения, позволят на практике более корректно определять политику фирмы в области управления запасами.
Используемая литература:
Harris, Ford W. (1990). «How Many Parts to Make at Once». Operations Research. 38 (6) (Reprinted from Factory, The Magazine of Management, Volume 10, Number 2, February 1913, pp. 135–136, 152)
Wilson, R. H. (1934). «A Scientific Routine for Stock Control». Harvard Business Review. 13: 116–28
Akindipe, O. S. (2014). Inventory management: A tool for optimal use of resources and overall efficiency in manufacturing SMEs. Journal of Entrepreneurship and Innovation (JEMI), 10, (44), 93-113.
Kumar, D., and Prajapati, D. R. (2015).Determination of inventory turnover ratios and cost savings by using basic EOQ model.International Journal of Management, IT, & Engineering, 5, (9), 80-92.
Стерлигова А.Н., Семенова И.В. Оптимальный размер заказа, или Загадочная формула Вильсона // Логистик&система. — No2. — С. 64-69. — No3. — С. 62-71. — 2005.
Tripathy, R. P. (2013). Inventory model with different demand rate and different holding cost. International Journal of Industrial Engineering Computations, 4, (1), 437-446.
Аннотация: Статья посвящена инкорпорированию модели оптимального складского запаса Вильсона в модель Баумоля-Тобина, где в качестве эндогенной переменной выступает время. Полученный результат показывает, что при учете упущенных выгод и фактора времени, традиционный подход Вильсона дает завышенное значение оптимального складского запаса. Предложенная модифицированная модель Баумоля-Тобина связывает размер оптимального складского запаса с номинальными расходами фирмы на осуществление одного заказа. В статье предложено два подхода к расчету издержек на хранение и показан ход оптимизационных решений при каждом из них.
Ключевые слова: Оптимизация, явные и неявные затраты, минимизация затрат, модель Вильсона, модель Баумоля-Тобина, модифицированная модель Баумоля-Тобина, менеджмент запасов.
В 10-х годах прошлого века Харрис Форд в своей статье «Сколько производить за один раз?» [1] предложил идею оптимального складского запаса, которая 30- годах прошлого века была модернизирована Робертом Вильсоном в концепцию «Экономичного складского запаса» (EOQ-model) [2]. Впервые в логистике стали использоваться оптимизационные модели, выводы из которых вошли во все учебные пособия по логистике, управлению и финансам. За рубежом даже возникло отдельное направление inventory management. И в настоящее время формула Вильсона активно используется как финансовых, так и в логистических операциях.
Формулировку проблемы оптимального складского запаса можно представить в виде следующей оптимизационной задачи
Если
С — издержки доставки и размещения одного заказа (транспортные затраты, погрузо-разгрузочные работы, экспедиционные расходы),
R — ежегодный спрос на продукцию в физических единицах,
P — цена приобретения одной единицы продукции фирмой,
H — издержки хранения одной физической единицы товара в год,
то какой оптимальный размер заказа (Q*) должна делать фирма?
Решение данной задачи предполагает процедуру минимизации издержек фирмы, связанных как с хранением товаров, так и доставкой заказов.
Если заказы поступают равномерно, а это одно из основных условий для решения задачи в общем виде, то количество заказов, сделанных в течение года составит R/Q , цена стоимость доставки и размещения одного заказа С. Следовательно, фирма потратит на доставку заказов (C*R)/Q денежных средств.
В начале периода времени на склад будет доставлено Q единиц продукции, в конце периода времени на складе останется 0 единиц продукции. Среднее значение складского запаса составит, если складской товар расходуется равномерно, (Q+0)/2 единиц продукции, и соответственно затраты на хранение Q единиц продукции составят (Q*H)/2.
Таким образом, необходимо минимизировать сумму двух функций издержек. Первая функция издержек представляет собой обычную гиперболу, вторая – прямую линию. Минимизация целевой функции дает нам обычную формулу Вильсона
Откуда
Разделив годовой оборот (ежегодный спрос) на оптимальный размер заказа, получаем оптимальное количество заказов, сделанных фирмой в течении года составит, соответственно
Среднее количество единиц продукции, хранящейся на складе, соответственно составит:
Важным практическим приложением полученной формулы является правило квадратного корня: если годовой оборот фирмы увеличивается в N раз увеличение размера оптимального заказа и соответственно среднего количества единиц, хранящихся на складе, увеличивается в √N раз. Данное правило активно используется в складской логистике и является причиной экономии на масштабах для сетевых структур в производстве, розничной торговли и т.д. [3]
С формулой Вильсона возникает определенное методологическое несоответствие. Оно заключается в том, что решение, принимаемое фирмой, содержит определенную оптимизацию по времени, так как нужно определиться с продолжительностью времени хранения. Время в бизнесе выражается в упущенных выгодах или в деньгах, однако этот экзогенный фактор никаким образом не включен в модель «Экономичного размера заказа».
Проблема учета фактора времени при хранении была в модели Баумоля-Тобина, разработанной в 50-х годах прошлого века [4], в просторечии называемой «модель-пила». [5]
Модификация формулы Вильсона в трактовке Баумоля-Тобина, где в качестве эндогенной переменной используется время t [4], будет выглядеть следующим образом (впервые данный подход в России был представлен в переводном учебном пособии Г. Мэнкью «Макроэкономика», глава 18 в 1994 году [6]):
Примем в качестве эндогенной переменную t – время хранения одного доставленного запаса на складе. Значение t принимается от 0 до 1. Если t=0,5, то время складского хранения одного заказа составляет полгода, если t=1/12, то один месяц и т.д. (теоретически t может быть и больше единицы, в этом случае, например, при t=2 время хранения на складе одного заказа составит два года).
Если оставить в силе все обозначения из предыдущего примера, то можно сформулировать задачу оптимального складского запаса, где в качестве эндогенной переменной выступает время. В этом случае
1/t — количество доставок (заказов) продукции на склад в течении года;
C/t — издержки фирмы на доставку (заказы) продукции в течение года;
R*t — размер одного заказа или Q как в нашем предыдущем примере;
(R*t*H)/2 — издержки хранения товаров на складе.
Целевая функция минимизации транспортных затрат и упущенных выгод от времени будет выглядеть следующим образом:
Оптимальный размер заказа составит
Среднее количество товаров хранящихся на складе составит
Однако подход Баумоля-Тобина не учитывает прямых издержек [7], связанных с хранением товаров на складе, точнее неявно предполагает, что они равны нулю.
Логично совместить два подхода к определению оптимального складского запаса, привязав издержки хранения к временному фактору или инкорпорировав подход Вильсона в модель Баумоля-Тобина. Это позволит совместить идею Вильсона с подходом, предложенным Уильямом Баумолем и Джеймсом Тобином.
Хранение товаров на складе также связано с упущенной выгодой и ее необходимо учитывать. Упущенная выгода при хранении запаса есть потеря возможности заработать на сумме, вложенной в товар, в случае ее размещения на банковском счете [8].
Действительно, если у фирмы на складе постоянно хранится определенный объем товаров, причем в начале периода хранения его количество равно Q, а в конце 0, то при равномерности расходов складского запаса среднее количество товаров, изымаемых из оборота составляет Q/2, а в стоимостных показателях (P*Q)/2 или, на данную сумму денег, изымаемой из оборота в течении года, фирма упускает возможность получить доход, если бы она разместила эти деньги в банк под процентную ставку i-(P*R*t*i)/2.
Если включить данный вид экономических издержек (а это издержки упущенных возможностей) в модель Баумоля-Тобина, то фирма минимизирует во времени три вида затрат, два вида из которых являются явными и один вид является неявным:
Откуда получаем оптимальный срок размещения заказа
Оптимальное число заказов соответственно будет равно:
Оптимальный размер заказа в этом случае составит
Среднее количество товаров на складе, соответственно, будет равно:
Следует обратить внимание, что формула Вильсона является частным случаем предложенной обобщенной формулы Баумоля-Тобина с учетом издержек хранения, если допустить что процентная ставка равна нулю.
Если процентная ставка больше нуля ( i > 0 ), то при прочих равных условиях формула Вильсона будет давать завышенное значение оптимального заказа и занижает число заказов, которые должна делать фирма.
Так же важным следствием для данной модифицированной формулы является то, что на размер оптимального заказа влияют затраты, которые несет фирма по приобретению одной единицы заказа.
В качестве иллюстрации вышеприведённых доводов приведем числовой пример.
Пусть издержки доставки и размещения одного заказа (С) составляют 200 рублей, ежегодный спрос на продукцию в физических единицах составляет 5000 штук, цена приобретения одной единицы продукции фирмой равна (P) 1000 рублей, издержки хранения одной физической единицы товара в год (Н) – 40 рублей.
Тогда по мере роста процентной ставки расхождения в предсказанном оптимальном размере заказа будут значительно возрастать. (см. Таблица 1)
Таблица 1. Сравнение оптимального размера заказа при изменение процентной ставки: модифицированная формула Баумоля-Тобина vs. формула Вильсона
Данное расхождение будет тем выше, чем сильнее будет расти закупочная цена одного заказа и наоборот.
Так, в нашем абстрактном примере снижение цены единицы продукции, например в 10 раз, делает расхождения в результатах, предсказанным данными моделями менее значимыми (см. Таблица 2).
Таблица 2. Сравнение оптимального размера заказа при изменении процентной ставки и десятикратном снижении закупочной цены: модифицированная формула Баумоля-Тобина vs. формула Вильсона
Таким образом, модифицированная модель оптимального складского запаса Баумоля-Тобина тем более значима, чем выше закупочные цены продукции. Данный вывод совпадает и с мнением Aro-gordon Stephen, Gupte Jaideep [9].
Практика, сложившая в России по аренде складских помещений, свидетельствует о том, что фирмы платят за аренду определенной площади склада, а не увязывают с арендодателем платежи за хранения с размером хранимого запаса. Экономисты называют подобный контракт негибким контрактом [10].
В этом случае условия негибкого контракта заставляют нас адаптировать подход к определению оптимального запаса, числа поездок и т.д.
Пусть Z – количество единиц продукции, которую можно разместить на 1 кв.м. складского помещения (обратите внимание, что Z может быть и меньше единицы, но больше нуля), а H – стоимость аренды одногоквадратного метра складского помещения. В этом случае фирма вынуждена арендовать Q/Z=(R*t)/Z единиц площади, а ее прямые затраты на аренду складского помещения составят (Q*H)/Z=(R*t*H)/Z. Следует обратить внимание на отсутствие числа 2 в знаменателе, так как решение фирмы определяется не средним размером запаса, а максимальным завозом товара, который осуществляет фирма.
Тогда с учетом упущенной денежной выгоды минимизация затрат фирмой будет представлена следующим образом:
Откуда
Оптимальное число заказов будет соответственно равно:
Оптимальный размер заказа составит значение:
Таким образом, оптимальный размер заказа положительно связан со следующими экзогенными параметрами
С — издержки доставки и размещения одного заказа (транспортные затраты, погрузо-разгрузочные работы, экспедиционные расходы),
R – ежегодный спрос на продукцию в физических единицах,
Z — количество единиц продукции, которую можно разместить на 1 кв. м. складского помещения.
Отрицательно со следующими экзогенными параметрами
Н — издержки аренды одного квадратного метра складского помещения,
Р — цена приобретения одной единицы продукции фирмой,
i – номинальная годовая ставка процента или альтернативная стоимость размещения количества денег эквивалентного стоимости среднего складского запаса.
Следует не согласиться с подходом Стерлиговой-Семеновой, что «введение той или иной формулы расчета, очевидно, не дает ответа на вопрос: «Каким должен быть размер заказа?» [11]. И теория, и практика показывают, что в каждом конкретном случае необходимо модифицировать оптимизационную модель и приводить ее в соответствие с особенностями ведения, в нашем случае, складской логистики [12]. Представляется, что представленные две новации, связанные с учетом упущенных выгод и негибким договором аренды складского помещения, позволят на практике более корректно определять политику фирмы в области управления запасами.
Используемая литература:
Дополнительные материалы:
— Статья «Кликунов Н.Д. Модели оптимального управления складскими запасами»
Приложения2
-
Add a note